Equação Fundamental da Reta

Podemos determinar a equação fundamental de uma reta utilizando o ângulo formado pela reta com o eixo das abscissas (x) e as coordenadas de um ponto pertencente à reta. O coeficiente angular da reta, associado à coordenada do ponto, facilita a representação da equação da reta. Observe:

Considerando uma reta r, o ponto C(x_C, y_C) pertencente à reta, seu coeficiente angular m e outro ponto D(x,y) genérico diferente de C. Com dois pontos pertencentes a reta r, um real e outro genérico, podemos calcular o seu coeficiente angular.





m = y – y₀/x – x₀
m (x – x₀) = y – y₀

Portanto, a equação fundamental da reta será determinada pela seguinte expressão:

y – y₀ = m (x – x₀)

Exemplo 1

Encontre a equação fundamental da reta r que possui o ponto A (0,-3/2) e coeficiente angular igual a m = – 2.

y – y0 = m (x – x0)
y – (–3/2) = –2(x – 0)
y + 3/2 = –2x
2x + y + 3/2 = 0


Exemplo 2

Obtenha uma equação para a reta representada abaixo:



Para determinarmos a equação fundamental da reta precisamos das coordenadas de um dos pontos pertencentes à reta e o valor do coeficiente angular. As coordenadas do ponto fornecido é (5,2), o coeficiente angular é a tangente do ângulo α.

Iremos obter o valor de α com a diferença 180° – 135° = 45°, então α = 45º e a tg 45° = 1.

y – y₀ = m (x – x₀)
y – 2 = 1 (x – 5)
y – 2 = x – 5
y – x + 3 = 0


Exemplo 3

Determine a equação da reta que passa pelo ponto de coordenadas (6; 2) e possui inclinação de 60º.

Coeficiente angular é dado pela tangente do ângulo 60º: tg 60º = √3.

y – y₀ = m (x – x₀)
y – 2 = √3 (x – 6)
y – 2 = √3x – 6√3
–√3x + y – 2 + 6√3 = 0
√3x – y + 2 – 6 √3 = 0


Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Obtenção do Domínio de uma função

As funções devem ser caracterizadas de acordo com algumas condições de existência:

Dois conjuntos: um denominado domínio e outro contradomínio.

Uma expressão y = f(x) associando os valores de x e y, formando pares ordenados pertencentes aos conjuntos domínio e contradomínio.

Através de alguns exemplos demonstraremos como determinar o domínio de uma função, isto é, descobrir quais os números que a função não pode assumir para que a sua condição de existência não seja afetada.

a)
 
Nesse caso o denominador não pode ser nulo, pois não existe divisão por zero na Matemática.
x – 1 ≠ 0
x ≠ 1
Portanto, D(f) = {x Є R / x ≠ 1} = R – {1}.

b)

Nos números reais, o radicando de uma raiz de índice não pode ser negativo.
4x – 6 ≥ 0
4x 6
x ≥ 6/4
x ≥ 3/2
Portanto, D(f) = {x Є R / x ≥ 3/2}

c)

O radicando de uma raiz de índice ímpar pode ser um número negativo, nulo ou positivo, isto é, 3x – 9 pode assumir qualquer valor real. Portanto, D(f) = R.


d)

Nesse caso temos restrições tanto no numerador quanto no denominador. As restrições podem ser calculadas da seguinte maneira:
I) 2 – x ≥ 0 → – x ≥ – 2 → x ≤ 2
II) x + 1 > 0 → x > – 1

Executando a intersecção entre I e II, obtemos:

Portanto, D(f) = {x Є R / –1 < x ≤ 2} → ] –1, 2].


É importante estar atento a determinadas situações envolvendo funções, o conhecimento e a habilidade em lidar com tais condições é consequência de muito estudo e dedicação por parte dos estudantes. Tais condições de existência das funções são cobradas em questões de vestibulares de diversas universidades brasileiras, em virtude de o conteúdo possuir inúmeras aplicações no cotidiano.

Função Par e Função Ímpar

Função Par

Denominamos função par uma função f, quando para todo elemento x pertencente ao domínio da função temos f(x) = f(-x).
Vamos analisar a função cuja representação gráfica temos ao lado.
Vamos começar pelo lado direito do eixo das ordenadas.
Veja que para x igual a 1, 2 ou 3, temos y igual a -4, 2 ou 12, respectivamente.
Isto porque:

Agora vamos analisar o lado esquerdo do eixo das ordenadas.
Note que para x igual a -1, -2 e -3, temos y igual aos mesmos -4, 2 e 12, respectivamente.
Evidentemente porque:

Qualquer que seja x temos f(x) = f(-x):

Portanto é uma função par.
Visto que f(x) = f(-x), então x e o seu oposto -x possuem a mesma imagem.
Como você já deve ter percebido, o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas, isto é, o lado direito espelha o esquerdo e vice-versa.

Função Ímpar

Denominamos função ímpar uma função f, quando para todo elemento x pertencente ao domínio da função, temos f(x) = -f(-x), que também podemos escrever como -f(x) = f(-x).
Vamos analisar a função representada pelo gráfico ao lado.
Podemos notar que o gráfico é simétrico em relação à origem do plano cartesiano.
Observe que os pontos para os quais x é igual a 1, 2 ou 3, estão localizados em posição simétrica à partir da origem, em relação aos pontos para os quais x é igual a -1, -2 ou -3, respectivamente.
Para termos o valor exato das imagens, primeiramente vamos calcular f(x) para x igual a 1, 2 e 3:

Ainda para x igual a 1, 2 e 3 vamos calcular -f(-x) para podermos fazer uma comparação:

Veja que f(x) = -f(-x):

Visto que -f(x) = f(-x), então x e o seu oposto -x têm imagens opostas.

Funções que não são Par nem Ímpar

No casos dos números naturais quando um número não é par ele só pode ser ímpar e vice-versa.
No caso de funções a coisa não é bem assim que funciona.
Para que uma função seja denominada função par ou função ímpar, é preciso que a mesma se enquadre exatamente nas condições impostas vistas acima.
Acontece que existem funções que não satisfazem nem a condição para serem denominadas funções pares, nem tampouco para serem denominadas funções ímpares.
Vejamos o caso da função no gráfico ao lado.
Como podemos observar, não existe a simetria visual vistas nos gráficos anteriores, nem quanto a uma função par, nem quanto a uma função ímpar.
No caso função par teríamos f(x) = f(-x), ou seja, as imagens de x = 1 e de x = -1, por exemplo, deveriam ser iguais, mas pelo gráfico e pelos cálculos realizados abaixo vemos que isto não ocorre:

Então não é uma função par.
Para que ela fosse uma função ímpar teríamos -f(x) = f(-x), ou seja, as imagens de x = 1 e de x = -1, por exemplo, deveriam ser opostas uma da outra, mas pelo gráfico e pelos cálculos realizados acima vemos que isto também não ocorre:
Portanto também não é uma função ímpar.

Tipos de Função : Sobrejetora, injetora e bijetora.

Depois de conhecermos o conceito de função, estudaremos agora como classificá-las.
Se você não sabe do que se tratam os símbolos D(f), CD(f) e Im(f), convém revisar a simbologia utilizada ao trabalharmos com funções, ela será necessária para uma boa compreensão desta matéria.
Estudaremos os três tipos de função que são: Sobrejetora, injetora e bijetora.

Função Sobrejetora

Vamos analisar o diagrama de flechas ao lado:
Como sabemos o conjunto A é o domínio da função e o conjunto B é o seu contradomínio.
É do nosso conhecimento que o conjunto imagem é o conjunto formado por todos os elementos do contradomínio que estão associados a pelo menos um elemento do domínio e neste nosso exemplo, todos os elementos de B estão associados a pelo menos um elemento de A, logo nesta função o contradomínio é igual ao conjunto imagem.
Classificamos como sobrejetora as funções que possuem o contradomínio igual ao conjunto imagem.
Note que em uma função sobrejetora não existem elementos no contradomínio que não estão flechados por algum elemento do domínio.
Nesta função de exemplo temos:
Domínio: D(f) = { -2, -1, 1, 3 }
Contradomínio: CD(f) = { 12, 3, 27 }
Conjunto Imagem: Im(f) = { 12, 3, 27 }
Esta função é definida por:

Substituindo a variável independente x, de 3x², por qualquer elemento de A, iremos obter o elemento de B ao qual ele está associado, isto é, obteremos f(x).
Do que será explicado a seguir, poderemos concluir que embora esta função seja sobrejetora, ela não é uma função injetora.

Função Injetora

Vejamos agora este outro diagrama de flechas:
Podemos notar que nem todos os elementos de B estão associados aos elementos de A, isto é, nesta função o conjunto imagem difere do contradomínio, portanto esta não é uma função sobrejetora.
Além disto podemos notar que esta função tem uma outra característica distinta da função anterior.
Veja que não há nenhum elemento em B que está associado a mais de um elemento de A, ou seja, não há em B qualquer elemento com mais de uma flechada. Em outras palavras não há mais de um elemento distinto de A com a mesma imagem em B.
Nesta função temos:
Domínio: D(f) = { 0, 1, 2 }
Contradomínio: CD(f) = { 1, 2, 3, 5 }
Conjunto Imagem: Im(f) = { 1, 3, 5 }
Definimos esta função por:

Veja que não há no D(f) qualquer elemento que substituindo x em 2x + 1, nos permita obter o elemento 2 do CD(f), isto é, o elemento 2 do CD(f) não é elemento da Im(f).

Função Bijetora

Na explicação do último tipo de função vamos analisar este outro diagrama de flechas:
Do explicado até aqui concluímos que este é o diagrama de uma função sobrejetora, pois não há elementos em B que não foram flechados.
Concluímos também que esta é uma função injetora, já que todos os elementos de B recebem uma única flechada.
Esta função tem:
Domínio: D(f) = { -1, 0, 1, 2 }
Contradomínio: CD(f) = { 4, 0, -4, -8 }
Conjunto Imagem: Im(f) = { 4, 0, -4, -8 }
Esta função é definida por:

Ao substituirmos x em -4x, por cada um dos elementos de A, iremos encontrar os respectivos elementos de B, sem que sobrem elementos em CD(f) e sem que haja mais de um elemento do D(f) com a mesma Im(f).
Funções que como esta são tanto sobrejetora, quanto injetora, são classificadas como funções bijetoras.

Domínio, imagem e contra-domínio de uma função

As funções nada mais são que um tipo particular de relação que possuem uma propriedade específica.
Para iniciarmos o estudo das funções vamos começar analisando a relação , cujo diagrama de flechas pode ser visto ao lado:
Observe que todos os elementos do conjunto A possuem uma flecha em direção a um único elemento do conjunto B.
Em outras palavras, não há no conjunto A qualquer elemento que não esteja associado a um elemento do conjunto B e os elementos de A estão associados a apenas um elemento de B.
Por possuir tal propriedade, dizemos que esta relação é uma função f de A em B representada por:

Domínio da Função

Ao conjunto A damos o nome de domínio da função.
O domínio é o conjunto de partida. Ele composto de todos os elementos do conjunto de partida.
Neste nosso exemplo o domínio da função f é representado por D(f) = { -3, 0, 3 }, ou seja, o domínio desta função contém todos os elementos do conjunto A.
Como supracitado, para que tenhamos uma função, todos os elementos do domínio devem estar associados a um e somente um dos elementos de B.

Contradomínio da Função

Ao conjunto B damos o nome de contradomínio da função.
O contradomínio é o conjunto de chegada. Ele composto de todos os elementos do conjunto de chegada.
Em nosso exemplo o contradomínio da função f é representado por CD(f) = { 0, 9, 18 }, isto é, o contradomínio desta função contém todos os elementos do conjunto B.
Segundo o conceito de função não é necessário que todos os elementos de B estejam relacionados aos elementos do domínio. Note que no conjunto B o elemento 18 não recebe nenhuma flecha, isto é, não está relacionado a qualquer elemento de A.
Uma outra coisa que deve ser observada é que em uma função os elementos do contradomínio podem receber mais de uma flechada, se associando, portanto, a mais de um elemento do domínio. Como exemplo temos o elemento 9 que está associado aos elementos do domínio -3 e 3.

Imagem da Função

A imagem da função dependendo do caso é o próprio contradomínio, ou então é um subconjunto seu.
Os elementos do conjunto imagem são todos os elementos do contradomínio que estão associados a algum elemento do domínio. No exemplo que estamos utilizando o conjunto imagem é representado por Im(f) = { 0, 9 }, pois 0 e 9 são todos os elementos do CD(f) que estão associados a algum elemento do D(f).
Em resumo para a função de exemplo temos:
Domínio da Função: D(f) = { -3, 0, 3 }
Contradomínio da Função: CD(f) = { 0, 9, 18 }
Conjunto Imagem da Função: Im(f) = { 0, 9 }
Nesta função exemplo o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, pois o elemento 18 de B não está contido no conjunto imagem, por não estar associado a nenhum elemento do domínio.

Funções

Veremos agora a representação das relações entre os números em uma função através de conjuntos.
Vamos utilizar o mesmo exemplo anterior, observe:

Lado Área 2 4 5 25 9 81 12 144

Nesta nova forma de visualizar, temos que cada conjunto representa uma coluna da tabela do exemplo anterior, e as flechas representam a relação A=L².

O conjunto em que as flechas estão saindo pode ser chamado de "conjunto de saída". E o conjunto em que as flechas estão chegando pode ser chamado de "conjunto de chegada".

Vamos fazer um exemplo mais prático, algo que já começa a aparecer em vestibulares:

- Dados os conjuntos A={5, 12, 23} e B={5, 7, 14, 15, 16, 25, 26}, a relação entre eles é expressa pela fórmula y = x + 2 com "x" pertencente ao conjunto A, e "y" pertencente ao conjunto B. Desenhe estas relações em forma de conjuntos:

Veja que o relacionamento (a flecha) leva um número do conjunto de saída diretamente ao número duas unidades maior do que ele presente no conjunto de chegada (como manda a lei y=x+2).

Novamente observamos que:
- Todo elemento do conjunto "A" está relacionados a algum elemento do conjunto "B";
- Para cada elemento do conjunto "A" está relacionado somente um elemento do conjunto "B".

A fórmula (y = x + 2) é chamada de função de "A" em "B". E pode-se escrever:

(é lido como "f é uma função de A em B")

Este é como se fosse uma "assinatura" da função.
Neste exemplo utilizamos "f" como sendo o nome da função, por isso escrevemos . Se tivéssemos dado o nome da função de "g", escreveríamos g: A —> B.

---

Esta foi uma apresentação um tanto quanto intuitiva para as relações.

Para que uma dessas relações entre dois conjuntos possa ser chamada de função, duas regras devem ser observadas (regras vistas intuitivamente nos exemplos acima).

Uma relação de de um conjunto A em um conjunto B será uma função somente se:

- Para cada elemento do conjunto de saída (elemento x), está relacionado um único elemento do conjunto de chegada (elemento y); Olhando na representação por conjuntos isso significa que só pode sair uma flecha de cada elemento do conjunto de saída. - Todos os elementos do conjunto "A" deve estar relacionado, não podendo ter nenhum elemento voando sozinho dentro deste conjunto.

Obs1.: Note que a primeira regra não fala nada que não pode ter duas flechas chegando no mesmo elemento do conjunto de chegada. Ou seja, Um elemento do conjunto de chegada pode estar se relacionando com dois elementos do conjunto de saída.
Obs2.: Se uma relação não satisfaz estas duas regras, não será uma função. Será considerada apenas uma relação!

---

Digamos que temos uma função chamada de "g", que relaciona elementos do conjunto R aos elementos do conjunto N. Dizemos isso matematicamente:

g: R —> N

Cuja lei de associação é y = 2x-1, como "y" é uma variável dependente de "x" também representamos "y" como sendo g(x), leia-se "gê de xis". Ou seja, poderíamos ter escrito:
g(x) = 2x - 1
* Esta representação pode ser utilizada independente do nome da função. Veja mais dois exemplos:

y = x + 3                     h(x) = x + 3
y = 5x - 2                     f(x) = 5x - 2

A lei pode ser escrita de ambas formas, tendo o mesmo significado para Matemática.

Exemplos com soluções:

Este exemplo não é uma função, pois o conjunto "A" tem um elemento sobrando, o que contraria a regra 2.

Este exemplo é uma função, pois atende às exigências de uma função:
- Todos elementos de "A" possuem correspondentes;
- Para cada elemento de "A" é relacionado um e apenas um elemento de "B".

Obs.: Veja que neste exemplo temos duas flechas chegando no elemento 25 do conjunto B, de chegada. Isso não tem problema, pois a regra 1 diz que não pode ter duas flechas no mesmo elemento do conjunto de saída.

Por todos os lados - As formas estão nos obejetos domésticos mais simples, assim como nas sofisticadas animações 3D.

Formas e medidas nos cercam por toda parte. Lidamos com elas para decorar o quarto, atravessar a rua ou até mesmo organizar a comida no prato. Em particular, os produtores de desenhos animados trabalham muito bem om elas.

Em Up-atlas aventuras, freddricksen cercou-se de objetos geométricos, desde os balões com que trabalhava- e que ajudaram sua casa a levantar voo- até um pequeno distintivo feito com uma tampinha de refrigerante, que ganhou de presente de sua falecida esposa, Ellie.

Muitas dessas formas podem ser matematizadas, ou seja, transformadas em sentenças matemáticas para que os computadores gráficos das produtoras consigam transformar essas sentenças matemáticas em desenhos. “Sem a Matemática, não teríamos esses ambientes e personagens visualmente ricos”.

Cena do filme Up-Atlas Aventuras

Na cena do desenho animado da imagen acima, há vários elementos gráficos que podem ser representados por uma equação. Repare, por exemplo, na corda que prende o menino Russell à corda puxada por Fredricksen. A corda esticada tem forma de uma reta, que pode ser representada pela equação y = ax + b. Já o nariz de Fredricksen poderia ter seu "volume" calculado pela fórmula V = 4πr³/3, poís é semelhante a uma esfera. Com a ajuda da computação gráfica, essas fórmulas viram desenhos que divertem multidões de espectadores.

Pontos no Plano Cartesiano

A Geometria Analítica estuda as propriedades das figuras geométricas estabelecendo uma relação entre a Geometria Plana e a Álgebra. Toda figura geométrica pode ser analisada como um conjunto de pontos e para traduzirmos em linguagem algébrica as propriedades destas figuras geométricas associamos esses pontos a números.
Podemos marcar um ponto em uma régua, por exemplo, vamos marcar o ponto onde fica o 3 em nossa régua:

Desta forma estamos associando o ponto A ao número 3. Podemos marcar assim todos os pontos existentes nessa régua. Mas esta nossa régua é limitada, como faríamos para representar o ponto associado ao número 1023? Ou ao número - 57, ou ainda ao número 0,0000356? Ou seja, como marcaríamos os pontos que não pertencem a esta régua? Para isso estabelecemos um sistema de coordenadas sobre uma reta onde associamos cada ponto desta reta a um número real, como na figura abaixo:

O ponto C está associado ao número real 1. Podemos afirmar então que a coordenada do ponto C é o número real 1.
Na figura abaixo encontramos outra limitação da nossa régua:

Se dissermos que existe um ponto associado ao número 3 não será suficiente para determinar de qual ponto estamos falando A ou B. Pois A está mais distante da régua que B. Para determinarmos a localização de A e B usaremos uma outra régua mas desta vez na vertical.

Agora sim podemos determinar a localização dos pontos A e B. A está associado ao número 3 na régua horizontal e ao número 6 na régua vertical. B também está associado ao número 3 na régua horizontal mas na régua vertical está associado ao número real 4. Chamamos estas duas coordenadas de cada ponto de par ordenado.
Com as réguas acima ficamos limitados aos números positivos menores que 15. Para determinarmos a localização de qualquer ponto precisaríamos de duas réguas infinitas. Representamos a correspondência entre os pontos do plano e o conjunto de pares ordenados de números reais por duas retas infinitas e perpendiculares denominadas eixos ortogonais que formam o sistema cartesiano ortogonal. O eixo horizontal é chamado de eixo x ou eixo das abscissas e o eixo vertical é chamado de eixo y ou eixo das ordenadas. Na figura abaixo podemos observar que o ponto C está associado ao par ordenado (257,143). Considerando o ponto D(-200,-100) dizemos que o número -200 é a coordenada x ou a abscissa do ponto D e o número -100 é a coordenada y ou a a ordenada do ponto D.

Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em 4 regiões chamadas quadrantes como na figura abaixo.

Lembre-se que os eixos coordenados são infinitos e portanto as regiões definidas por eles também são, isto é:
1º quadrante: região onde os pares ordenados associados aos pontos tem como abscissa números reais maiores que 0 e como ordenadas números reais maiores que zero, ou seja, x > 0 e y > 0.
2º quadrante: região onde os pares ordenados associados aos pontos tem como abscissa números reais menores que 0 e como ordenadas números reais maiores que zero, ou seja, x < 0 e y > 0.
3º quadrante: região onde os pares ordenados associados aos pontos tem como abscissa números reais menores que 0 e como ordenadas números reais menores que zero, ou seja, x < 0 e y < 0.
4º quadrante: região onde os pares ordenados associados aos pontos tem como abscissa números reais maiores que 0 e como ordenadas números reais menores que zero, ou seja, x > 0 e y < 0.

O ponto de intersecção dos eixos x e y, O(0,0), é chamado de origem e pertence aos dois eixos. Os pontos situados sobre os eixos coordenados por convenção não pertencem a nenhum quadrante.

Marcar pontos no software Geogebra é muito fácil, acompanhe a atividade 1:

atividade 1

Tutorial do Geogebra

Atividade 2

Álgebra

Álgebra

X? Y? Entenda os cálculos com letras

Carlos Alberto Campagner*

Para representar os problemas da vida real em linguagem matemática, muitas vezes utilizamos letras que substituem incógnitas (os valores que você não conhece, e quer descobrir). É aí que entram os famosos x, y, etc. O ramo da matemática que utiliza símbolos (normalmente letras do nosso alfabeto latino e do grego) para a resolução de problemas é chamado álgebra.

As equações são a aplicação mais conhecida dessa área da matemática.

Por exemplo, a área de um retângulo de base b e altura c é dada pela fórmula:

A = b . c

Esse monte de letra nada mais é que a representação de "fatos da vida real" por meio de números: a representa a área, b e c representam os lados do retângulo.

Essa fórmula vale para qualquer retângulo cuja área se deseja calcular.

Letras substituem valores iguais

Como você resolveria o seguinte cálculo?

<>

Imagine que x represente um objeto, por exemplo, uma maçã. Então você faria:

"3 maçãs mais 7 maçãs"

Logicamente o resultado é "10 maçãs". Então:

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O procedimento, como você viu, é simples: para somar números que acompanham incógnitas, basta somá-los, normalmente (desde que as incógnitas sejam iguais).

Agora suponha que x valha 17 maçãs. O resultado de nossa operação seria 170.

Problemas resolvidos pela álgebra

Vamos descobrir quanto medem os lados de um retângulo em que um lado é o dobro do outro e cujo perímetro é igual a 60.

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Para começar, é necessário saber o que é perímetro - é a soma de todos os lados de uma figura geométrica.

Como um lado foi chamado de x, o outro - que é o dobro - será 2x.

Nesse caso, o perímetro pode ser escrito como a soma dos 4 lados:

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Logo:

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Como o perímetro deve ser igual a 60, o único número que multiplicado por 6 resulta 60 é o número 10, logo:

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