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sábado, 10 de setembro de 2011

Obtenção do Domínio de uma função

As funções devem ser caracterizadas de acordo com algumas condições de existência:

Dois conjuntos: um denominado domínio e outro contradomínio.

Uma expressão y = f(x) associando os valores de x e y, formando pares ordenados pertencentes aos conjuntos domínio e contradomínio.


Através de alguns exemplos demonstraremos como determinar o domínio de uma função, isto é, descobrir quais os números que a função não pode assumir para que a sua condição de existência não seja afetada.

a)
 
Nesse caso o denominador não pode ser nulo, pois não existe divisão por zero na Matemática.
x – 1 ≠ 0
x ≠ 1
Portanto, D(f) = {x Є R / x ≠ 1} = R – {1}.

b)

Nos números reais, o radicando de uma raiz de índice não pode ser negativo.
4x – 6 ≥ 0
4x 6
x ≥ 6/4
x ≥ 3/2
Portanto, D(f) = {x Є R / x ≥ 3/2}

c)

O radicando de uma raiz de índice ímpar pode ser um número negativo, nulo ou positivo, isto é, 3x – 9 pode assumir qualquer valor real. Portanto, D(f) = R.


d)

Nesse caso temos restrições tanto no numerador quanto no denominador. As restrições podem ser calculadas da seguinte maneira:
I) 2 – x ≥ 0 → – x ≥ – 2 → x ≤ 2
II) x + 1 > 0 → x > – 1

Executando a intersecção entre I e II, obtemos:
Portanto, D(f) = {x Є R / –1 < x ≤ 2} → ] –1, 2].


É importante estar atento a determinadas situações envolvendo funções, o conhecimento e a habilidade em lidar com tais condições é consequência de muito estudo e dedicação por parte dos estudantes. Tais condições de existência das funções são cobradas em questões de vestibulares de diversas universidades brasileiras, em virtude de o conteúdo possuir inúmeras aplicações no cotidiano.

Função Par e Função Ímpar

Função Par

Denominamos função par uma função f, quando para todo elemento x pertencente ao domínio da função temos f(x) = f(-x).
Vamos analisar a função cuja representação gráfica temos ao lado.
Vamos começar pelo lado direito do eixo das ordenadas.
Veja que para x igual a 1, 2 ou 3, temos y igual a -4, 2 ou 12, respectivamente.
Isto porque:

Agora vamos analisar o lado esquerdo do eixo das ordenadas.
Note que para x igual a -1, -2 e -3, temos y igual aos mesmos -4, 2 e 12, respectivamente.
Evidentemente porque:

Qualquer que seja x temos f(x) = f(-x):

Portanto é uma função par.
Visto que f(x) = f(-x), então x e o seu oposto -x possuem a mesma imagem.
Como você já deve ter percebido, o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas, isto é, o lado direito espelha o esquerdo e vice-versa.

Função Ímpar

Denominamos função ímpar uma função f, quando para todo elemento x pertencente ao domínio da função, temos f(x) = -f(-x), que também podemos escrever como -f(x) = f(-x).
Vamos analisar a função representada pelo gráfico ao lado.
Podemos notar que o gráfico é simétrico em relação à origem do plano cartesiano.
Observe que os pontos para os quais x é igual a 1, 2 ou 3, estão localizados em posição simétrica à partir da origem, em relação aos pontos para os quais x é igual a -1, -2 ou -3, respectivamente.
Para termos o valor exato das imagens, primeiramente vamos calcular f(x) para x igual a 1, 2 e 3:

Ainda para x igual a 1, 2 e 3 vamos calcular -f(-x) para podermos fazer uma comparação:

Veja que f(x) = -f(-x):

Visto que -f(x) = f(-x), então x e o seu oposto -x têm imagens opostas.

Funções que não são Par nem Ímpar

No casos dos números naturais quando um número não é par ele só pode ser ímpar e vice-versa.
No caso de funções a coisa não é bem assim que funciona.
Para que uma função seja denominada função par ou função ímpar, é preciso que a mesma se enquadre exatamente nas condições impostas vistas acima.
Acontece que existem funções que não satisfazem nem a condição para serem denominadas funções pares, nem tampouco para serem denominadas funções ímpares.
Vejamos o caso da função no gráfico ao lado.
Como podemos observar, não existe a simetria visual vistas nos gráficos anteriores, nem quanto a uma função par, nem quanto a uma função ímpar.
No caso função par teríamos f(x) = f(-x), ou seja, as imagens de x = 1 e de x = -1, por exemplo, deveriam ser iguais, mas pelo gráfico e pelos cálculos realizados abaixo vemos que isto não ocorre:

Então não é uma função par.
Para que ela fosse uma função ímpar teríamos -f(x) = f(-x), ou seja, as imagens de x = 1 e de x = -1, por exemplo, deveriam ser opostas uma da outra, mas pelo gráfico e pelos cálculos realizados acima vemos que isto também não ocorre:
Portanto também não é uma função ímpar.

Tipos de Função : Sobrejetora, injetora e bijetora.

Depois de conhecermos o conceito de função, estudaremos agora como classificá-las.
Se você não sabe do que se tratam os símbolos D(f), CD(f) e Im(f), convém revisar a simbologia utilizada ao trabalharmos com funções, ela será necessária para uma boa compreensão desta matéria.
Estudaremos os três tipos de função que são: Sobrejetora, injetora e bijetora.

Função Sobrejetora

Vamos analisar o diagrama de flechas ao lado:
Como sabemos o conjunto A é o domínio da função e o conjunto B é o seu contradomínio.
É do nosso conhecimento que o conjunto imagem é o conjunto formado por todos os elementos do contradomínio que estão associados a pelo menos um elemento do domínio e neste nosso exemplo, todos os elementos de B estão associados a pelo menos um elemento de A, logo nesta função o contradomínio é igual ao conjunto imagem.
Classificamos como sobrejetora as funções que possuem o contradomínio igual ao conjunto imagem.
Note que em uma função sobrejetora não existem elementos no contradomínio que não estão flechados por algum elemento do domínio.
Nesta função de exemplo temos:
Domínio: D(f) = { -2, -1, 1, 3 }
Contradomínio: CD(f) = { 12, 3, 27 }
Conjunto Imagem: Im(f) = { 12, 3, 27 }
Esta função é definida por:

Substituindo a variável independente x, de 3x2, por qualquer elemento de A, iremos obter o elemento de B ao qual ele está associado, isto é, obteremos f(x).
Do que será explicado a seguir, poderemos concluir que embora esta função seja sobrejetora, ela não é uma função injetora.

Função Injetora

Vejamos agora este outro diagrama de flechas:
Podemos notar que nem todos os elementos de B estão associados aos elementos de A, isto é, nesta função o conjunto imagem difere do contradomínio, portanto esta não é uma função sobrejetora.
Além disto podemos notar que esta função tem uma outra característica distinta da função anterior.
Veja que não há nenhum elemento em B que está associado a mais de um elemento de A, ou seja, não há em B qualquer elemento com mais de uma flechada. Em outras palavras não há mais de um elemento distinto de A com a mesma imagem em B.
Nesta função temos:
Domínio: D(f) = { 0, 1, 2 }
Contradomínio: CD(f) = { 1, 2, 3, 5 }
Conjunto Imagem: Im(f) = { 1, 3, 5 }
Definimos esta função por:

Veja que não há no D(f) qualquer elemento que substituindo x em 2x + 1, nos permita obter o elemento 2 do CD(f), isto é, o elemento 2 do CD(f) não é elemento da Im(f).

Função Bijetora

Na explicação do último tipo de função vamos analisar este outro diagrama de flechas:
Do explicado até aqui concluímos que este é o diagrama de uma função sobrejetora, pois não há elementos em B que não foram flechados.
Concluímos também que esta é uma função injetora, já que todos os elementos de B recebem uma única flechada.
Esta função tem:
Domínio: D(f) = { -1, 0, 1, 2 }
Contradomínio: CD(f) = { 4, 0, -4, -8 }
Conjunto Imagem: Im(f) = { 4, 0, -4, -8 }
Esta função é definida por:

Ao substituirmos x em -4x, por cada um dos elementos de A, iremos encontrar os respectivos elementos de B, sem que sobrem elementos em CD(f) e sem que haja mais de um elemento do D(f) com a mesma Im(f).
Funções que como esta são tanto sobrejetora, quanto injetora, são classificadas como funções bijetoras.

Domínio, imagem e contra-domínio de uma função

As funções nada mais são que um tipo particular de relação que possuem uma propriedade específica.
Para iniciarmos o estudo das funções vamos começar analisando a relação , cujo diagrama de flechas pode ser visto ao lado:
Observe que todos os elementos do conjunto A possuem uma flecha em direção a um único elemento do conjunto B.
Em outras palavras, não há no conjunto A qualquer elemento que não esteja associado a um elemento do conjunto B e os elementos de A estão associados a apenas um elemento de B.
Por possuir tal propriedade, dizemos que esta relação é uma função f de A em B representada por:


Domínio da Função

Ao conjunto A damos o nome de domínio da função.
O domínio é o conjunto de partida. Ele composto de todos os elementos do conjunto de partida.
Neste nosso exemplo o domínio da função f é representado por D(f) = { -3, 0, 3 }, ou seja, o domínio desta função contém todos os elementos do conjunto A.
Como supracitado, para que tenhamos uma função, todos os elementos do domínio devem estar associados a um e somente um dos elementos de B.

Contradomínio da Função

Ao conjunto B damos o nome de contradomínio da função.
O contradomínio é o conjunto de chegada. Ele composto de todos os elementos do conjunto de chegada.
Em nosso exemplo o contradomínio da função f é representado por CD(f) = { 0, 9, 18 }, isto é, o contradomínio desta função contém todos os elementos do conjunto B.
Segundo o conceito de função não é necessário que todos os elementos de B estejam relacionados aos elementos do domínio. Note que no conjunto B o elemento 18 não recebe nenhuma flecha, isto é, não está relacionado a qualquer elemento de A.
Uma outra coisa que deve ser observada é que em uma função os elementos do contradomínio podem receber mais de uma flechada, se associando, portanto, a mais de um elemento do domínio. Como exemplo temos o elemento 9 que está associado aos elementos do domínio -3 e 3.

Imagem da Função

A imagem da função dependendo do caso é o próprio contradomínio, ou então é um subconjunto seu.
Os elementos do conjunto imagem são todos os elementos do contradomínio que estão associados a algum elemento do domínio. No exemplo que estamos utilizando o conjunto imagem é representado por Im(f) = { 0, 9 }, pois 0 e 9 são todos os elementos do CD(f) que estão associados a algum elemento do D(f).
Em resumo para a função de exemplo temos:
Domínio da Função: D(f) = { -3, 0, 3 }
Contradomínio da Função: CD(f) = { 0, 9, 18 }
Conjunto Imagem da Função: Im(f) = { 0, 9 }
Nesta função exemplo o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, pois o elemento 18 de B não está contido no conjunto imagem, por não estar associado a nenhum elemento do domínio.

Funções

Veremos agora a representação das relações entre os números em uma função através de conjuntos.
Vamos utilizar o mesmo exemplo anterior, observe:
Lado Área
2 4
5 25
9 81
12 144
conj1.gif (2612 bytes)
Nesta nova forma de visualizar, temos que cada conjunto representa uma coluna da tabela do exemplo anterior, e as flechas representam a relação A=L².
O conjunto em que as flechas estão saindo pode ser chamado de "conjunto de saída". E o conjunto em que as flechas estão chegando pode ser chamado de "conjunto de chegada".

Vamos fazer um exemplo mais prático, algo que já começa a aparecer em vestibulares:
- Dados os conjuntos A={5, 12, 23} e B={5, 7, 14, 15, 16, 25, 26}, a relação entre eles é expressa pela fórmula y = x + 2 com "x" pertencente ao conjunto A, e "y" pertencente ao conjunto B. Desenhe estas relações em forma de conjuntos:
conj2.gif (2668 bytes)

Veja que o relacionamento (a flecha) leva um número do conjunto de saída diretamente ao número duas unidades maior do que ele presente no conjunto de chegada (como manda a lei y=x+2).
Novamente observamos que:
- Todo elemento do conjunto "A" está relacionados a algum elemento do conjunto "B";
- Para cada elemento do conjunto "A" está relacionado somente um elemento do conjunto "B".

A fórmula (y = x + 2) é chamada de função de "A" em "B". E pode-se escrever:
fab.gif (977 bytes)
(é lido como "f é uma função de A em B")
Este é como se fosse uma "assinatura" da função.
Neste exemplo utilizamos "f" como sendo o nome da função, por isso escrevemos fab.gif (977 bytes). Se tivéssemos dado o nome da função de "g", escreveríamos g: A —> B.

Esta foi uma apresentação um tanto quanto intuitiva para as relações.
Para que uma dessas relações entre dois conjuntos possa ser chamada de função, duas regras devem ser observadas (regras vistas intuitivamente nos exemplos acima).
Uma relação de de um conjunto A em um conjunto B será uma função somente se:
Obs1.: Note que a primeira regra não fala nada que não pode ter duas flechas chegando no mesmo elemento do conjunto de chegada. Ou seja, Um elemento do conjunto de chegada pode estar se relacionando com dois elementos do conjunto de saída.
Obs2.: Se uma relação não satisfaz estas duas regras, não será uma função. Será considerada apenas uma relação!

Digamos que temos uma função chamada de "g", que relaciona elementos do conjunto R aos elementos do conjunto N. Dizemos isso matematicamente:
g: R —> N
Cuja lei de associação é y = 2x-1, como "y" é uma variável dependente de "x" também representamos "y" como sendo g(x), leia-se "gê de xis". Ou seja, poderíamos ter escrito:
g(x) = 2x - 1
* Esta representação pode ser utilizada independente do nome da função. Veja mais dois exemplos:
y = x + 3                     h(x) = x + 3
y = 5x - 2                     f(x) = 5x - 2
A lei pode ser escrita de ambas formas, tendo o mesmo significado para Matemática.
Exemplos com soluções:
conj3.gif (3161 bytes)
Este exemplo não é uma função, pois o conjunto "A" tem um elemento sobrando, o que contraria a regra 2.
conj4.gif (3090 bytes)
Este exemplo é uma função, pois atende às exigências de uma função:
- Todos elementos de "A" possuem correspondentes;
- Para cada elemento de "A" é relacionado um e apenas um elemento de "B".
Obs.: Veja que neste exemplo temos duas flechas chegando no elemento 25 do conjunto B, de chegada. Isso não tem problema, pois a regra 1 diz que não pode ter duas flechas no mesmo elemento do conjunto de saída.