Teoria do campo aditivo considera a adição e a subtração como complementares
Foto Gustavo Lourenção
– É de mais ou de menos?
– Se ele ganhou, só pode ser de mais!
– Maria tem 7 bonecas. Quando ela mudou de casa, 3 sumiram. Com quantas bonecas ela ficou?
– Esse é de menos porque ela perdeu as bonecas que tinha...
Quantas vezes você já ouviu comentários como esse ao formular um problema matemático para a turma? Os alunos ficam aflitos para saber qual operação usar e chegar ao resultado final e você, muitas vezes, precisa domar a tentação de dar a dica. Quando as operações são assim apresentadas, há a tendência de a turma acreditar equivocadamente que ambas são opostas e conflitantes, quando na verdade elas podem ser consideradas “irmãs gêmeas”. “É possível resolver o mesmo problema usando uma ou outra porque há vários caminhos que levam à resolução”, diz Priscila Monteiro, formadora do programa Matemática É D+, da Fundação Victor Civita (FVC).
Um dos primeiros pesquisadores a relacionar esses cálculos como sendo as duas faces de uma mesma moeda foi o psicólogo francês Gérard Vergnaud, em 1977, ao elaborar a teoria dos campos conceituais (leia entrevista abaixo). Preocupado com as dificuldades das crianças no aprendizado de operações elementares, o pesquisador procurou conhecer os procedimentos mais utilizados por elas. “Dentro e fora da escola, os pequenos já lidam com situações que envolvem ganhar, perder, tirar, acrescentar, juntar e comparar. Elas costumam compreender com mais facilidade quando os problemas estão relacionados a essas noções”, observa Milou Sequerra, coordenadora pedagógica do Colégio Santa Cruz, em São Paulo, e estudiosa do assunto. Assim, Vergnaud formulou a ideia de campos conceituais, que pode ser utilizada em qualquer área das ciências. Em Matemática, ela engloba, entre outras, as noções de campo aditivo e campo multiplicativo (veja outras de suas particularidades abaixo).
Um novo jeito de fazer contas
Ao lidar com o conceito de campo aditivo, você perceberá que as diferenças de abordagem em relação à maneira tradicional não se restringem ao enunciado: os caminhos que o aluno usa para resolver o desafio do enunciado são importantes e devem ser valorizados na discussão em grupo.
Consultoria Lúcia Mesquita e Virgínia Villaça, professoras do Colégio Santa Cruz, em São Paulo, SP
Ao lidar com o conceito de campo aditivo, você perceberá que as diferenças de abordagem em relação à maneira tradicional não se restringem ao enunciado: os caminhos que o aluno usa para resolver o desafio do enunciado são importantes e devem ser valorizados na discussão em grupo.
| PERSPECTIVA ANTERIOR | PERSPECTIVA DO CAMPO ADITIVO | |
| ENUNCIADO | A incógnita está sempre no fim do enunciado (5 + 5 = ?; 16 - 3 = ?) | A incógnita pode estar em qualquer parte do enunciado (? + 5 = 10; 16 - ? =13) |
| PALAVRA-CHAVE | Palavras como “ganhar” e “perder” dão certeza ao aluno sobre a operação a ser usada | Não se estimula o uso. As crianças precisam analisar os dados do problema para decidir a melhor estratégia a ser utilizada |
| COMO O ALUNO PENSA | Para chegar ao resultado, é preciso saber qual operação usar (soma ou subtração) | Com várias possibilidades de chegar ao valor final, o aluno tem mais autonomia e o pensamento fica menos engessado |
| RESOLUÇÃO | Está diretamente ligada à operação proposta no enunciado | Está atrelada à análise das informações e à criação de procedimentos próprios |
| INTERAÇÃO COM O ALUNO | Cabe ao professor validar ou não a resposta encontrada | O professor propõe discussões em grupo e o aluno tem recursos para justificar seus procedimentos |
| REGISTRO | Conta armada | O percurso do raciocínio é valorizado, seja ele feito com contas parciais, armadas ou não, desenho de pauzinhos ou outra estratégia |
Vergnaud divide o campo aditivo em cinco classes. As características de cada uma delas podem ser percebidas pela forma como é elaborado o enunciado (leia exemplos no quadro abaixo). São elas:
• Transformação – Alteração do estado inicial por meio de uma situação positiva ou negativa que interfere no resultado final.
• Combinação de medidas – Junção de conjuntos de quantidades preestabelecidas.
• Comparação – Confronto de duas quantidades para achar a diferença.
• Composição de transformações – Alterações sucessivas do estado inicial.
• Estados relativos – Transformação de um estado relativo em outro estado relativo (essa categoria não é abordada nos Parâmetros Curriculares Nacionais, PCNs, de 1ª a 4ª série por ser de maior complexidade e, por isso, não trataremos de problemas referentes a ela).
Além de identificar essas situações para elaborar o enunciado do problema, é preciso ficar atento para oferecer ao aluno a possibilidade de realizar várias operações, positivas ou negativas. É importante variar o lugar em que a incógnita é colocada. “A alteração do X da questão possibilita raciocínios muito diferentes e faz com que o estudante entenda o sentido das operações”, observa Priscila Monteiro.
Dá para perceber que essas novas concepções mudam totalmente a maneira de ensinar problemas de adição e subtração, certo? Se antes a conta armada era a única opção disponível, agora o aluno tem variados caminhos para chegar ao fim, assim como registrar esse percurso.
Da mesma forma como há um leque de situações matemáticas, também o aluno pode buscar diferentes caminhos para encontrar o resultado. Vamos entender como isso funciona com a ajuda de um exemplo: “Numa gincana escolar, a turma B fez 48 pontos, e a A, 29. Quantos pontos a turma A precisa fazer para ficar igual à B?” Colocar um número em cima do outro e fazer a conta armada é apenas uma forma de resolver essa questão, mas não é a única.
Um aluno pode partir do 29 e ir contando de 1 em 1 até chegar ao 48, encontrando o resultado por meio do complemento. Outro jeito é começar do 48 e ir subtraindo até alcançar o 29. Há ainda a possibilidade de acrescentar um número ao 29, por exemplo, o 10, e ir ajustando até chegar ao 48, obtendo o valor final por meio de sucessivas adições. Não é difícil que os estudantes menos experientes nessas operações optem por desenhar pauzinhos, contar nos dedos ou ainda procurem os números com a ajuda de uma tabela.
“As crianças não resolvem problemas só quando já têm um modelo pronto”, lembra Célia Maria Carolino Pires, coordenadora da Pós-graduação em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP). As estratégias encontradas pelos alunos, a maneira como defendem ou validam o que fizeram e a comparação com as soluções dos colegas da classe têm tanto ou mais valor que o resultado certo para o aprendizado. Célia ressalta a importância de o professor questionar, debater e socializar com a classe as soluções encontradas pelos alunos, como uma tarefa permanente que requer cuidados para não ridicularizar ninguém. “Essa prática ajuda as crianças a perceber as diferentes formas de encontrar a solução e permite que elas façam as escolhas dos procedimentos mais práticos e econômicos.”
Os diferentes caminhos para a resolução de problemas
Você pode usar a teoria do campo conceitual – da qual o campo aditivo faz parte – para melhor organizar as práticas em sala de aula: nos problemas apresentados, observe se os significados envolvidos estão sendo explorados. Dessa forma, as crianças percebem que diferentes situações podem ser resolvidas pelo uso de uma mesma operação. Acompanhe a seguir alguns exemplos de problemas.
Você pode usar a teoria do campo conceitual – da qual o campo aditivo faz parte – para melhor organizar as práticas em sala de aula: nos problemas apresentados, observe se os significados envolvidos estão sendo explorados. Dessa forma, as crianças percebem que diferentes situações podem ser resolvidas pelo uso de uma mesma operação. Acompanhe a seguir alguns exemplos de problemas.
| EXEMPLO | OBSERVAÇÃO | VARIAÇÕES |
| Transformação positiva de um estado inicial | ||
Marina tinha 20 figurinhas e ganhou 15 num jogo. Quantas figurinhas ela tem agora? |  | • Marina tinha algumas figurinhas, ganhou 15 num jogo e ficou com 35. Quantas figurinhas ela tinha? • Marina tinha 20 figurinhas. Ganhou algumas e ficou com 35. Quantas figurinhas ela ganhou?  |
| Transformação negativa de um estado inicial | ||
Pedro tinha 37 bolinhas, mas perdeu 12. Quantas bolinhas ele tem agora? |  | • Pedro tinha várias bolinhas, perdeu 12 e agora tem 25. Quantas bolinhas ele tinha antes?  • Na semana passada, Pedro tinha 37 bolinhas. Hoje tem 25. O que aconteceu no decorrer da semana?  |
| Combinação de medidas | ||
Numa classe, há 15 meninos e 13 meninas. Quantas crianças há ao todo? |  | • Em uma classe de 28 alunos, há alguns meninos e 13 meninas. Quantos são os meninos? • Em uma classe de 28 alunos, 15 são meninos. Quantas são as meninas?  |
| Comparação | ||
Paulo tem 13 carrinhos e Carlos tem 7 a mais que ele. Quantos carrinhos tem Carlos? |  | • Paulo tem 13 carrinhos e Carlos, 20. Quantos carrinhos a mais Paulo precisa para ter o mesmo que Carlos? • Carlos tem 20 carrinhos. Paulo tem 7 a menos que ele. Quantos carrinhos tem Paulo?  |
| Composição de transformações | ||
No início do jogo, Flávia tinha 42 pontos. Ela ganhou 10 pontos e, em seguida, mais 25. O que aconteceu com seus pontos no fim? |  | • No início do jogo, Flávia tinha 42 pontos. Ela perdeu 10 pontos e, em seguida, perdeu mais 25. O que aconteceu com seus pontos no fim? • No início do jogo, Flávia tinha 42 pontos. Ela ganhou 10 pontos e, em seguida, perdeu 25. O que aconteceu com seus pontos no fim?  |
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